- 2.2.5 Binomialverteilung
Die Binomialverteilung gehört zu der Klasse der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Von besonderer Bedeutung ist sie wie die hypergeometrische Verteilung bei Bernoulli-Experimenten. Die Binomialverteilung ist vor allem bei Stichprobenentnahmen anzuwenden, und ist bei Stichproben mit Zurücklegen bei vielen ingenieurswissenschaftlichen Vorgängen einsetzbar.
- Beispiel 1:
Bei der Qualitätssicherung werden im Wareneingang stichprobenartig eine Anzahl Produkte geprüft und für "einwandfrei" oder "fehlerhaft" befunden. Es läßt sich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, eine bestimmte Anzahl "guter" bzw. "schlechter" Produkte in der Stichprobe zu erhalten.
- Ursprung:
Die Grundlagen der Binomialverteilung gehen auf die Arbeiten von Jakob I. Bernoulli zurück, dessen Werk "Ars Conjectandi" 1713 posthum in Basel veröffentlicht wurde. Der Begriff Binomialverteilung wurde erstmals 1911 von George Udny Yule verwendet.
- Charakteristik:
Die Binomialverteilung kann mit dem Galtonbrett im Video (rechts oben) veranschaulicht werden. Hierbei fallen Kugeln durch eine Apparatur mit Stiftereihen, und werden an jedem Stift entweder nach rechts oder nach links abgelenkt, bis sie in unten angebrachte Behälter fallen.
- Die Anzahl der Kugeln ist in der Mitte größer als an den Rändern ("Tendenz zur Mitte")
- Die Wahrscheinlichkeit dass Kugeln in bestimmte Behälter fallen, nimmt mit Abstand von der Mitte ab
- 2.2.5.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung B(n,p)
- für 0 <= x <= n ganzzahlig
- 2.2.5.1 Lageparameter und Approximation
Erwartungswert E(x) = np
- Varianz Var(x) = npq = np(1 - p)
- Für npq >= 9 wird die Binomialverteilung gut durch die Standardnormalverteilung approximiert
- Funktionsbezeichnung in Excel: BINOMVERT
- 2.2.5.2 Übungsaufgaben
- 8. Binomialverteilung (I)
In einem Karton liegen 50 Bauteile, davon sind 3 nicht funktionsfähig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei drei mal Ziehen mit Zurücklegen:
a.) kein fehlerhaftes Teil zu erhalten?
b.) genau ein Fehlerteil zu erhalten?
c.) drei nicht funktionsfähige Teile zu erhalten?
- 10. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion
Zeigen Sie am Beispiel der Binomialverteilung b (x; n=5; p=0,1)
a.) die Wahrscheinkeitsverteilung der Dichtefunktion f(x) in grafischer Form
b.) die Verteilungsfunktion F(x) in grafischer Form.
- Lösungen werden im Rahmen der Vorlesung besprochen.
