- 2.2.6 Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und ermöglicht Voraussagen über die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer Anzahl x voneinander unabhängiger, seltener Ereignisse die in zufälliger Sequenz innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls auftreten können. Man unterstellt, dass aus vorangehender Beobachtung bereits bekannt ist, wie viele Ereignisse im Mittel innerhalb eines Intervalls auftreten.
- Beispiel 1:
An einer Rotation treten im Mittel 4 Bahnrisse, die zum Stillstand der Anlage führen, im Zeitintervall von einem Monat auf. Die Beobachtung von Bahnrissen stützt sich auf eine Dauer von insgesamt 5 Jahren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 6 Bahnrisse in einem zukünftigen Monat auftreten?
- Ursprung:
Die Poisson-Verteilung geht auf Siméon Denis Poisson (1781–1840) zurück, der 1837 ein Werk zur dieser Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie veröffentlichte.
- Charakteristik:
Die Poisson-Verteilung kann als spezieller Fall der Binomialverteilung angesehen werden und gibt den Zusammenhang an zwischen:
- Anzahl Beobachtungen (Stichprobe) in einem Zeitintervall und
- der Wahrscheinlichkeit p für auftretende, seltene Ereignisse:
- Grosse Werte von n ("Stichprobe groß")
- Kleine Werte von p („seltenes Ereignis“)
- Für diese Randbedingungen ist die Poissonverteilung eine gute Näherungsformel für die Binomialverteilung.
λ bezeichnet. Es gilt:λ = n * p mit- Wahrscheinlichkeit: p
- Grösse der Stichprobe: n
- 2.2.6.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung
Die Berechnung der Bahnrisse (Beispiel 1 oben) ergibt sich mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion und dem Wert λ = 4 wie folgt: = 0,1042 - 2.2.6.2 Lageparameter und Approximation
Erwartungswert E(x) = λ
- Varianz Var(x) = λ
- Für λ >= 9 wird die Poissonverteilung gut durch die Standardnormalverteilung approximiert
- Funktionsbezeichnung in Excel: POISSON bzw. KUMPOISSON (kumuliert, dh. Anzahl der Ereignisse zwischen 0 und x).
